CFA Institute · Level I

Rates &
Returns.

Topic 02 · Lesson 02.01 · Quantitative Methods
Module đầu tiên của Quantitative Methods
Môn
Quant
Module
01
Lesson
02.01
Thời lượng
90 min
HPR · Arithmetic/Geometric · MWR vs TWR
PART
01
Foundations
Today's lesson

Interest rates &
measuring returns.

  • 01 · Interest rate components — real, inflation, risk premiums
  • 02 · Holding Period Return (HPR)
  • 03 · Arithmetic vs Geometric mean returns
  • 04 · Money-Weighted vs Time-Weighted Return
  • 05 · Continuously compounded returns
  • 06 · Gross/Net, Real/Nominal, Leveraged
  • 07 · Practice — 3 CFA-style questions
Quant · 02.01 03 / 26
Concept

Interest rate is priced by components.

§ Nominal risk-free rate decomposition
rnominal = rreal + E(inflation) + Risk Premiums
Nominal rate quoted trên thị trường = real rate + expected inflation + risk premiums.
01
Real risk-free rate
Lãi suất "thuần túy" khi không có inflation và không có risk. Reflects time preference + real productivity of capital.
02
Inflation premium
Bù đắp cho sự mất giá của tiền trong tương lai. Approx = expected inflation rate.
03
Default risk premium
Bù đắp cho khả năng bên vay không trả được. Corporate bond yield > Treasury yield.
04
Liquidity premium
Bù đắp khi khó bán nhanh không lỗ. Small-cap stocks, private bonds yield cao hơn.
05
Maturity premium
Bù đắp cho interest rate risk khi kỳ hạn dài. Long bonds thường yield cao hơn short bonds.
§
Fisher relation
(1 + rnominal) = (1 + rreal)(1 + inflation). Multiplicative form khi chính xác hơn approximation.
CFA Level I QUANT · 02.01 — RATE COMPONENTS
Quant · 02.01 04 / 26
Single-period return

Holding Period Return (HPR).

§ HPR
HPR = (P1 − P0 + D) / P0
P0 = giá đầu kỳ · P1 = giá cuối kỳ · D = dividend/income nhận được trong kỳ.
  1. HPR captures total return — không chỉ price change Bao gồm cả capital gain (P1 − P0) và income (D). Bỏ qua D sẽ undervalue returns của stocks trả cổ tức cao.
  2. Period agnostic — không specify kỳ HPR có thể là 1 ngày, 1 tháng, 1 năm, 5 năm... Nếu muốn annualize, dùng (1+HPR)1/n − 1.
  3. Ví dụ cụ thể Mua cổ phiếu $100, nhận $3 dividend, bán $108. HPR = (108 − 100 + 3) / 100 = 11%.
CFA Level I QUANT · 02.01 — HPR
Quant · 02.01 05 / 26
Multi-period average · concept

Arithmetic vs Geometric mean.

Hai cách đo average return qua nhiều kỳ — mục đích khác nhau, số ra cũng khác nhau khi returns biến động.

Arithmetic — forward-looking
Ý nghĩa
Best estimate of next-period expected return
Dùng khi
Forecasting, CAPM expected return, risk premium
Nhược
Overstate compound growth khi returns volatile
Geometric — backward-looking
Ý nghĩa
Actual realized compounded return
Dùng khi
Historical performance reporting (GIPS)
Ưu
Reflects true wealth accumulation

§ Rule — Arithmetic ≥ Geometric. Gap tăng theo volatility. Returns bằng nhau → 2 giá trị bằng nhau.

CFA Level I QUANT · 02.01 — MEANS · CONCEPT
Quant · 02.01 06 / 26
Multi-period average · formulas

The equations.

§ Arithmetic mean — simple average
R̄ = (R1 + R2 + ... + Rn) / n
Tổng returns chia số kỳ. Đơn giản nhưng bỏ qua compounding.
§ Geometric mean — compound average
R̄g = [(1+R1)(1+R2) ... (1+Rn)]1/n − 1
Nhân (1+R) của từng kỳ, lấy căn bậc n, trừ 1. Reflect actual compounded growth.
CFA Level I QUANT · 02.01 — MEANS · FORMULAS
Quant · 02.01 07 / 26
Multi-period average · example

Worked example.

§ Scenario Portfolio $100 đầu Year 1. Year 1 return +50% → $150. Year 2 return −50% → $75. Actual ending wealth = $75 (loss $25).
§ Step 1 — Arithmetic mean
R̄ = (0.50 + (−0.50)) / 2 = 0%
Arithmetic says 0% average return. Nhưng wealth thực sự giảm $100 → $75. Arithmetic misleading khi có volatility.
§ Step 2 — Geometric mean
R̄g = [(1.5)(0.5)]1/2 − 1 = √0.75 − 1 ≈ −13.4%
Geometric says −13.4%/năm. Verify: $100 × (1−0.134)2 ≈ $75 ✓ — khớp actual ending wealth.

§ Takeaway — Gap arithmetic (0%) vs geometric (−13.4%) = 13.4%. Càng volatile, gap càng lớn. Luôn dùng Geometric cho historical wealth report.

CFA Level I QUANT · 02.01 — MEANS · EXAMPLE
Quant · 02.01 08 / 26
Investor return

Money-Weighted Return (MWR).

§ MWR = IRR of cash flows
0 = Σ CFt / (1 + MWR)t
MWR là discount rate làm NPV của tất cả cash flows = 0. Tức là IRR applied to investor's cash flows (deposits/withdrawals + final value).
  1. Reflects investor timing decisions Nếu investor nạp thêm tiền đúng trước khi market tăng mạnh → MWR cao. Nạp trước khi crash → MWR thấp. Penalize/reward timing.
  2. Best for individual investor perspective Phản ánh "tôi đã kiếm được bao nhiêu" dựa trên cụ thể các lần deposit/withdrawal của mình.
  3. Sensitive to timing — không fair khi so sánh managers Manager không kiểm soát được khi nào client nạp/rút. Dùng MWR để đánh giá manager là không fair → dùng TWR thay thế.
CFA Level I QUANT · 02.01 — MWR
Quant · 02.01 09 / 26
Manager return

Time-Weighted Return (TWR).

§ TWR — geometric linking
TWR = [(1 + HPR1)(1 + HPR2)...(1 + HPRn)]1/n − 1
Tính HPR của từng sub-period (giữa các cash flows), rồi geometrically link lại. Loại bỏ ảnh hưởng của investor timing.
  1. Portfolio manager's fair metric TWR chỉ phản ánh skill của manager — không bị skew bởi timing nạp/rút của client. GIPS standard yêu cầu dùng TWR.
  2. Mechanics — break period tại mỗi cash flow Mỗi lần có deposit/withdrawal, tính HPR của sub-period trước đó, reset cho sub-period sau. Link tất cả.
  3. Exam rule of thumb Evaluating manager performance → TWR. Evaluating individual investor actual gain → MWR. Nếu không cash flows giữa kỳ → MWR = TWR.
CFA Level I QUANT · 02.01 — TWR
Quant · 02.01 10 / 26
Log return

Continuously Compounded Return.

§ Log return
rcc = ln(P1/P0) = ln(1 + HPR)
Dùng natural log. Còn gọi là log return. Nhận diện qua ký hiệu ln hoặc "continuously compounded".
  1. Time-additive — ưu điểm lớn nhất Log returns qua nhiều periods cộng trực tiếp: rtotal = r1 + r2 + ... Không như HPR (phải geometric link).
  2. Symmetric — không bị bias HPR +50% rồi −50% ≠ 0% (lossess). Log return +ln(1.5) rồi −ln(1.5) = 0. Nice math property cho econometrics.
  3. Dùng nhiều trong quant research Options pricing (Black-Scholes), time series analysis, portfolio modeling — đều prefer log returns. CFA L1 chỉ cần nhận diện + tính đổi được.
CFA Level I QUANT · 02.01 — LOG RETURNS
Quant · 02.01 11 / 26
Nuances

Gross, Net, Real, Leveraged.

01
Gross vs Net
Gross = before fees. Net = after management fees + expenses. Investor bạn thực nhận là NET. Reported returns đôi khi là gross — đọc kỹ.
02
Pre-tax vs After-tax
After-tax return = r × (1 − tax rate). Taxable vs tax-deferred accounts khác nhau rõ. Dividend tax rate có thể khác capital gain tax rate.
03
Real vs Nominal
(1 + rreal) = (1 + rnominal) / (1 + inflation). Approx: rreal ≈ rnominal − inflation. Exact với Fisher multiplicative.
04
Leveraged returns
Khi borrow để đầu tư (margin): rleveraged = [rasset + (D/E)(rasset − rdebt)]. Magnifies gains AND losses.

§ Warning — Đừng so sánh nominal với real, gross với net, pre-tax với after-tax. Phải apples-to-apples để tránh misleading.

CFA Level I QUANT · 02.01 — ADJUSTMENTS
Quant · 02.01 12 / 26
Exam focus

Rates & Returns on the exam.

Heavy concept
Arithmetic vs Geometric mean là must-know. Expect 2–3 câu test sự hiểu khác biệt.
MWR vs TWR
Dấu hiệu nhận biết: "manager performance" → TWR. "Investor actual gain with deposits/withdrawals" → MWR.
Log return
Nhận diện qua keyword "continuously compounded" hoặc "ln". Time-additive là key property.
Fisher exact
Exam có thể trick bằng approximation (rreal ≈ nominal − inflation) vs exact (multiplicative). Đọc kỹ đề.
CFA Level I QUANT · 02.01 — EXAM FOCUS

Practice →

Lý thuyết xong · 3 câu hỏi thực hành CFA-style
EN Original → Hint → Dịch đề → Đáp án
Quant · 02.01 14 / 26
Practice · Question 01 · Original

HPR with dividend.

§ Vignette
An investor buys a stock at $50.00, receives a $2.00 dividend during the year, and sells the stock at the end of the year for $53.00. What is the investor's Holding Period Return (HPR)?
  1. A6.00% (capital gain only).
  2. B10.00% (capital gain + dividend).
  3. C4.00% (dividend yield only).
CFA Level I QUANT · 02.01 — Q1 ORIGINAL
Quant · 02.01 15 / 26
Hint · Question 01

Spot the keywords.

§ Keywords Buy at $50.00, receive $2.00 dividend, sell at $53.00. Asking for HPR.
  1. Hint 1 HPR = (P1 − P0 + D) / P0. Phải include dividend — HPR là total return.
  2. Hint 2 (53 − 50 + 2) / 50 = 5/50 = 10%. Capital gain 6% + dividend yield 4% = 10%.
  3. Hint 3 Option A (6%) bỏ dividend. Option C (4%) chỉ tính dividend yield. Cả hai đều incomplete.
CFA Level I QUANT · 02.01 — Q1 HINT
Quant · 02.01 16 / 26
Practice · Question 01 · Tiếng Việt

Dịch đề.

§ Vignette
Một nhà đầu tư mua cổ phiếu ở giá $50.00, nhận $2.00 dividend trong năm, và bán cổ phiếu cuối năm với giá $53.00. Holding Period Return (HPR) của nhà đầu tư là bao nhiêu?
  1. A6.00% (chỉ capital gain).
  2. B10.00% (capital gain + dividend).
  3. C4.00% (chỉ dividend yield).
CFA Level I QUANT · 02.01 — Q1 VIỆT
Quant · 02.01 17 / 26
Answer · Question 01

Answer: B — 10.00%.

✓ Correct — B
HPR = (P1 − P0 + D) / P0 = (53 − 50 + 2) / 50 = 5/50 = 10%. HPR là total return: bao gồm capital gain ($3) VÀ income ($2 dividend).
✗ Wrong — A
6% là capital gain yield ((53 − 50)/50). Bỏ qua dividend → underestimate return. Common mistake cho beginner.
✗ Wrong — C
4% là dividend yield (2/50). Chỉ tính income, bỏ capital gain. HPR phải combine cả hai.
Key takeaway
HPR = price change + income, divided by initial price. Luôn include dividends/coupons — đây là total return measure, không phải price-only.
CFA Level I QUANT · 02.01 — ANSWER Q1
Quant · 02.01 18 / 26
Practice · Question 02 · Original

Arithmetic vs Geometric mean.

§ Vignette
A fund has annual returns of +50% in Year 1 and −50% in Year 2. An analyst wants to report the fund's realized compound return for the 2-year period. Which measure is most appropriate?
  1. AArithmetic mean of 0.00%.
  2. BGeometric mean of −13.40%.
  3. CSimple average of absolute values, 50.00%.
CFA Level I QUANT · 02.01 — Q2 ORIGINAL
Quant · 02.01 19 / 26
Hint · Question 02

Spot the keywords.

§ Keywords Returns +50% then −50%. Analyst wants realized compound return. Which measure is most appropriate?
  1. Hint 1 "Realized compound return" = Geometric mean. Đây là actual wealth outcome, không phải next-period expectation.
  2. Hint 2 Geometric: [(1+0.5)(1−0.5)]1/2 − 1 = [0.75]1/2 − 1 ≈ 0.866 − 1 = −13.40%.
  3. Hint 3 Arithmetic mean là 0% (+50 −50)/2 = 0 — SAI vì $100 thành $150 rồi thành $75. Rõ ràng mất tiền, không phải 0%.
CFA Level I QUANT · 02.01 — Q2 HINT
Quant · 02.01 20 / 26
Practice · Question 02 · Tiếng Việt

Dịch đề.

§ Vignette
Một quỹ có returns hàng năm là +50% trong Year 1 và −50% trong Year 2. Analyst muốn report realized compound return của quỹ trong 2-year period. Measure nào phù hợp nhất?
  1. AArithmetic mean 0.00%.
  2. BGeometric mean −13.40%.
  3. CSimple average của trị tuyệt đối, 50.00%.
CFA Level I QUANT · 02.01 — Q2 VIỆT
Quant · 02.01 21 / 26
Answer · Question 02

Answer: B — Geometric −13.40%.

✓ Correct — B
Realized compound return = Geometric mean. Tính: [(1+0.5)(1−0.5)]1/2 − 1 = √0.75 − 1 ≈ −13.40%. Reflect actual wealth: $100 → $150 → $75 → CAGR −13.4%/năm.
✗ Wrong — A
Arithmetic mean 0% misleading — investor rõ ràng mất 25% wealth ($100 → $75). Arithmetic overstate return khi có volatility.
✗ Wrong — C
Trị tuyệt đối không có ý nghĩa financial. +50 và −50 có sign opposite — không thể "average" bằng cách bỏ dấu.
Key takeaway
Khi returns volatile → Arithmetic > Geometric. Realized wealth outcome dùng Geometric. Forward-looking expected return dùng Arithmetic.
CFA Level I QUANT · 02.01 — ANSWER Q2
Quant · 02.01 22 / 26
Practice · Question 03 · Original

MWR vs TWR choice.

§ Vignette
A pension fund is evaluating the performance of a portfolio manager who manages a mandate on their behalf. The fund makes contributions and withdrawals at irregular intervals based on its liquidity needs — not the manager's timing decisions. Which return measure should the fund use to fairly evaluate the manager?
  1. AMoney-Weighted Return (MWR) — reflects the IRR of fund's cash flows.
  2. BTime-Weighted Return (TWR) — removes impact of fund's cash-flow timing.
  3. CArithmetic average return across all quarters.
CFA Level I QUANT · 02.01 — Q3 ORIGINAL
Quant · 02.01 23 / 26
Hint · Question 03

Spot the keywords.

§ Keywords Evaluating performance of portfolio manager. Fund makes contributions and withdrawals at irregular intervals based on its own liquidity needs — not manager's timing.
  1. Hint 1 Key rule: Manager không kiểm soát cash flows của client → không fair dùng MWR. TWR loại bỏ timing effect.
  2. Hint 2 TWR = geometric linking của HPR từng sub-period. Chỉ phản ánh skill của manager với AUM sẵn có.
  3. Hint 3 GIPS (Global Investment Performance Standards) yêu cầu TWR cho manager performance reporting. Đây là industry standard.
CFA Level I QUANT · 02.01 — Q3 HINT
Quant · 02.01 24 / 26
Practice · Question 03 · Tiếng Việt

Dịch đề.

§ Vignette
Một pension fund đang đánh giá hiệu suất của portfolio manager quản lý mandate cho họ. Fund nạp và rút tiền ở các thời điểm bất thường dựa trên nhu cầu thanh khoản của fund — không phải quyết định timing của manager. Fund nên dùng return measure nào để đánh giá công bằng manager?
  1. AMoney-Weighted Return (MWR) — phản ánh IRR của cash flows của fund.
  2. BTime-Weighted Return (TWR) — loại bỏ ảnh hưởng timing cash flow của fund.
  3. CArithmetic average return qua tất cả các quý.
CFA Level I QUANT · 02.01 — Q3 VIỆT
Quant · 02.01 25 / 26
Answer · Question 03

Answer: B — TWR.

✓ Correct — B
TWR loại bỏ ảnh hưởng của cash-flow timing bằng cách tính HPR của từng sub-period rồi geometrically link. Manager chỉ được đánh giá trên skill đầu tư của họ, không bị penalize bởi timing decisions của fund. GIPS standard yêu cầu TWR cho performance reporting.
✗ Wrong — A
MWR nhạy với timing — nếu fund rút tiền lớn trước khi portfolio tăng mạnh, MWR sẽ underestimate skill của manager. Không fair để đánh giá manager không kiểm soát cash flows.
✗ Wrong — C
Arithmetic average của quarterly returns có thể overstate compound return khi volatile. Hơn nữa không tính đến sub-period structure khi có cash flows.
Key takeaway
Manager evaluation → TWR (fair, GIPS standard). Individual investor actual gain/loss → MWR (reflect their timing). Không có cash flows giữa kỳ → MWR = TWR.
CFA Level I QUANT · 02.01 — ANSWER Q3

02.01 ✓

Tiếp theo · Lesson 02.02 — Time Value of Money in Finance