CFA Institute · Level I

Time Value
of Money.

Topic 02 · Lesson 02.02 · Quantitative Methods
Foundation for all CFA finance
Môn
Quant
Module
02
Lesson
02.02
Thời lượng
90 min
PV · FV · Annuities · APR vs EAR · NPV
PART
01
Foundations
Today's lesson

The most fundamental
idea in finance.

  • 01 · Why TVM matters — time preference, opportunity cost
  • 02 · FV & PV — compounding and discounting
  • 03 · Annuities & perpetuities
  • 04 · Nominal vs Effective rates (APR vs EAR)
  • 05 · NPV & IRR introduction
  • 06 · Practice — 3 CFA-style questions
Quant · 02.02 03 / 24
Concept

Why does time change money's value?

  1. Time preference — $1 hôm nay > $1 ngày mai Con người có xu hướng ưu tiên hiện tại. Nhận tiền ngay = consume/invest ngay; chờ = mất cơ hội. Đây là impatience mang tính psychological + rational.
  2. Opportunity cost — tiền biết kiếm tiền $1 nay có thể gửi tiết kiệm lãi 5% → $1.05 sau 1 năm. Từ chối $1 nay = từ chối cơ hội kiếm 5%. Interest rate là giá của thời gian.
  3. Inflation — purchasing power erodes Lạm phát 3%/năm → $1 nay chỉ mua được bằng $0.97 giá trị thực sau 1 năm. Nominal stays same, real value giảm.
CFA Level I QUANT · 02.02 — WHY TVM
Quant · 02.02 04 / 24
Core formulas

FV & PV — compounding & discounting.

§ Future Value
FV = PV × (1 + r)n
FV = Future Value · PV = Present Value · r = lãi suất/kỳ · n = số kỳ
§ Present Value
PV = FV / (1 + r)n
Discounting là nghịch đảo của compounding. Càng xa tương lai → discount càng nhiều.

§ Rule of 72 — Để gấp đôi tiền với lãi suất r%: cần khoảng 72/r năm. Ví dụ: r=8% → ~9 năm. Mnemonic hữu ích cho exam.

CFA Level I QUANT · 02.02 — FV & PV
Quant · 02.02 05 / 24
Compounding frequency

How often matters.

§ Multiple compounding periods
FV = PV × (1 + r/m)m·n
m = số lần compound/năm · r = lãi suất năm nominal · n = số năm
m=1
Annual — kỳ năm
Gốc đơn giản nhất. FV = PV(1+r)n. Dùng cho most textbook examples.
m=2
Semi-annual
Chuẩn của US Treasury bonds. Coupon 6% năm = 3% × 2 lần/năm.
m=12
Monthly
Credit card, mortgage, personal loan hay dùng monthly compounding.
m→∞
Continuous
FV = PV · ern. Dùng nhiều trong derivatives pricing (Black-Scholes).
CFA Level I QUANT · 02.02 — COMPOUNDING
Quant · 02.02 06 / 24
Annuities

Annuity — dòng tiền đều nhau.

§ PV of Ordinary Annuity
PV = PMT × [1 − (1 + r)−n] / r
PMT = payment đều mỗi kỳ · Ordinary annuity: payment xảy ra cuối mỗi kỳ.
Ordinary — end of period
Khi
Payment xảy ra cuối mỗi kỳ
Ví dụ
Tiền thuê nhà trả cuối tháng; coupon bonds
Formula
Standard PV/FV annuity formulas
Annuity due — start of period
Khi
Payment xảy ra đầu mỗi kỳ
Ví dụ
Rent-to-own; retirement withdrawals
Formula
PVdue = PVord × (1 + r)
CFA Level I QUANT · 02.02 — ANNUITIES
Quant · 02.02 07 / 24
Perpetuities

Perpetuity — forever.

§ PV of Perpetuity
PV = PMT / r
Dòng tiền đều vô hạn. Elegant: chỉ cần chia cho r.
  1. Ví dụ — British consols Trái phiếu chính phủ Anh £100 trả £5/năm mãi mãi. Nếu r=5% → PV = 5/0.05 = £100.
  2. Growing perpetuity — Gordon Growth PV = PMT / (r − g) khi dòng tiền tăng g% mỗi năm. Nền tảng cho DDM equity valuation.
  3. Condition — r phải > g Nếu g ≥ r → formula không hội tụ, PV = ∞. Đây là tại sao DDM không phù hợp cho growth stocks cao.
CFA Level I QUANT · 02.02 — PERPETUITIES
Quant · 02.02 08 / 24
Interest rates

APR vs EAR.

§ Effective Annual Rate
EAR = (1 + APR/m)m − 1
APR = Annual Percentage Rate (nominal) · m = compounding periods/year · EAR luôn ≥ APR.
APR — nominal
Định nghĩa
Lãi suất chỉ báo (stated rate)
Đơn vị
Not annualized compound
Dùng khi
Quảng cáo credit card, mortgage ("18% APR")
Hạn chế
Undervalue chi phí vay thực nếu compound nhiều lần
EAR — effective
Định nghĩa
Lãi suất thật sự trả/năm sau compounding
Đơn vị
Annualized + compounded
Dùng khi
So sánh loans/investments khác frequency
Ưu điểm
Reflects true cost/return; apples-to-apples

§ Example — APR 12% compounded monthly: EAR = (1 + 0.12/12)12 − 1 ≈ 12.68%. Cao hơn APR.

CFA Level I QUANT · 02.02 — APR vs EAR
Quant · 02.02 09 / 24
Investment decisions

NPV & IRR — đánh giá dự án.

§ Net Present Value
NPV = Σ CFt / (1 + r)t − CF0
Tổng PV của mọi cash flow trừ initial investment. NPV > 0 → accept project.
  1. NPV rule — accept if positive NPV > 0 nghĩa là dự án tạo giá trị vượt chi phí vốn. NPV < 0 → reject. NPV = 0 → break-even.
  2. IRR — discount rate làm NPV = 0 IRR là internal return của dự án. Accept nếu IRR > cost of capital. Conflict với NPV khi mutually exclusive.
  3. NPV wins — khi có conflict Khi NPV và IRR đối lập (mutually exclusive, unconventional cash flows), luôn theo NPV. IRR có multiple values problem.
CFA Level I QUANT · 02.02 — NPV & IRR
Quant · 02.02 10 / 24
Exam focus

TVM trên phòng thi.

Heavy weight
TVM chiếm ~30% số câu Quant. Là foundation cho Fixed Income, Corporate, Equity valuation.
Calculator muscle
Thành thạo TI BA II Plus — N, I/Y, PV, PMT, FV keys. Exam cho 3 phút/câu — phải thao tác nhanh.
Sign convention
Cash outflow = negative, cash inflow = positive. Sai sign → sai đáp án dù công thức đúng.
EAR trap
Câu hỏi compare loans/deposits với frequency khác nhau → phải convert sang EAR, không so APR trực tiếp.
CFA Level I QUANT · 02.02 — EXAM FOCUS

Practice →

Lý thuyết xong · 3 câu hỏi thực hành CFA-style
EN Original → Hint → Dịch đề → Đáp án
Quant · 02.02 12 / 24
Practice · Question 01 · Original

Basic Future Value.

§ Vignette
An investor deposits $1,000 today in a savings account earning 5% annual interest, compounded annually. What is the account balance after 10 years?
  1. A$1,500.00 (simple interest).
  2. B$1,628.89 (compound interest).
  3. C$1,714.25 (continuous compounding).
CFA Level I QUANT · 02.02 — Q1 ORIGINAL
Quant · 02.02 13 / 24
Hint · Question 01

Spot the keywords.

§ Keywords Deposit $1,000 today, earn 5% annual interest, compounded annually. Balance after 10 years?
  1. Hint 1 "Compounded annually" → m=1, dùng FV = PV(1+r)n. Không phải simple interest, không phải continuous.
  2. Hint 2 PV=1000, r=0.05, n=10 → FV = 1000 × 1.0510 = 1000 × 1.6289 = $1,628.89.
  3. Hint 3 Simple interest = 1000 + 1000×0.05×10 = $1,500 (option A). Continuous = 1000·e0.5 ≈ $1,648 (option C hơi sai).
CFA Level I QUANT · 02.02 — Q1 HINT
Quant · 02.02 14 / 24
Practice · Question 01 · Tiếng Việt

Dịch đề.

§ Vignette
Một nhà đầu tư gửi $1,000 hôm nay vào tài khoản tiết kiệm hưởng lãi 5%/năm, compound annually (kỳ năm). Số dư tài khoản sau 10 năm là bao nhiêu?
  1. A$1,500.00 (lãi đơn).
  2. B$1,628.89 (lãi kép).
  3. C$1,714.25 (compound liên tục).
CFA Level I QUANT · 02.02 — Q1 VIỆT
Quant · 02.02 15 / 24
Answer · Question 01

Answer: B — $1,628.89.

✓ Correct — B
Dùng FV = PV(1+r)n = 1000 × (1.05)10 = 1000 × 1.6289 = $1,628.89. "Compounded annually" = m=1 = standard annual compounding.
✗ Wrong — A
$1,500 là simple interest: PV + PV·r·n = 1000 + 50·10. Đề ghi "compounded annually" → phải dùng compound, không simple.
✗ Wrong — C
$1,714 gợi đến continuous compounding (ern), nhưng đề là "compounded annually", không phải continuously.
Key takeaway
"Compounded X-ly" định nghĩa m. Đọc kỹ: annually (m=1), semi-annually (m=2), monthly (m=12), continuously (m→∞).
CFA Level I QUANT · 02.02 — ANSWER Q1
Quant · 02.02 16 / 24
Practice · Question 02 · Original

Retirement annuity.

§ Vignette
You plan to withdraw $50,000 at the end of each year for 20 years, starting one year from today. If the annual discount rate is 6%, how much must you have in your account today?
  1. A$573,496 (ordinary annuity).
  2. B$607,906 (annuity due).
  3. C$1,000,000 (simple sum).
CFA Level I QUANT · 02.02 — Q2 ORIGINAL
Quant · 02.02 17 / 24
Hint · Question 02

Spot the keywords.

§ Keywords Withdraw $50,000 at the END of each year for 20 years, starting one year from today. Discount rate 6%.
  1. Hint 1 "At the end of each year" + "starting one year from today" → ordinary annuity, không phải annuity due.
  2. Hint 2 PVord = PMT × [1 − (1+r)−n] / r = 50000 × [1 − 1.06−20] / 0.06 = 50000 × 11.4699.
  3. Hint 3 Nhân cuối: 50000 × 11.4699 = $573,496. Nếu nhầm annuity due → ×1.06 = $607,906 (option B).
CFA Level I QUANT · 02.02 — Q2 HINT
Quant · 02.02 18 / 24
Practice · Question 02 · Tiếng Việt

Dịch đề.

§ Vignette
Bạn dự định rút $50,000 vào cuối mỗi năm trong 20 năm, bắt đầu từ một năm kể từ hôm nay. Nếu discount rate là 6%/năm, bạn phải có bao nhiêu tiền trong tài khoản hôm nay?
  1. A$573,496 (ordinary annuity).
  2. B$607,906 (annuity due).
  3. C$1,000,000 (tổng đơn giản).
CFA Level I QUANT · 02.02 — Q2 VIỆT
Quant · 02.02 19 / 24
Answer · Question 02

Answer: A — $573,496.

✓ Correct — A
"Cuối mỗi năm, bắt đầu 1 năm nữa" = ordinary annuity. PV = PMT × [1 − (1+r)−n]/r = 50000 × [1 − 1.06−20] / 0.06 ≈ 50000 × 11.4699 = $573,496.
✗ Wrong — B
$607,906 là annuity due (payment đầu kỳ). Nhưng đề nói "end of each year, starting one year from today" → ordinary, không phải due.
✗ Wrong — C
$1,000,000 = 50000 × 20 (tổng simple). Bỏ qua time value of money hoàn toàn — đây chính là lý do tồn tại TVM.
Key takeaway
"End of period" = ordinary. "Start of period" = due. Annuity due = Ordinary × (1+r). Difference: ~6% trong ví dụ này — không trivial.
CFA Level I QUANT · 02.02 — ANSWER Q2
Quant · 02.02 20 / 24
Practice · Question 03 · Original

Credit card EAR.

§ Vignette
Your credit card advertises an APR of 18%, compounded monthly. What is the effective annual rate (EAR) you actually pay on unpaid balance?
  1. A18.00% (same as APR).
  2. B19.56% (effective annual rate).
  3. C216.00% (APR × 12).
CFA Level I QUANT · 02.02 — Q3 ORIGINAL
Quant · 02.02 21 / 24
Hint · Question 03

Spot the keywords.

§ Keywords Credit card: APR 18%, compounded monthly. Asking for effective annual rate (EAR).
  1. Hint 1 EAR = (1 + APR/m)m − 1. Ở đây m=12 (monthly), APR=0.18 → EAR = (1 + 0.18/12)12 − 1.
  2. Hint 2 (1.015)12 ≈ 1.1956 → EAR ≈ 19.56%. EAR luôn ≥ APR khi m > 1.
  3. Hint 3 Option A (18%) chỉ đúng khi compound annually (m=1). Option C (216%) nhầm: APR × 12 không có ý nghĩa financial.
CFA Level I QUANT · 02.02 — Q3 HINT
Quant · 02.02 22 / 24
Practice · Question 03 · Tiếng Việt

Dịch đề.

§ Vignette
Thẻ tín dụng của bạn quảng cáo APR 18%, compound theo tháng. Effective annual rate (EAR) thật sự bạn phải trả trên số dư chưa thanh toán là bao nhiêu?
  1. A18.00% (bằng APR).
  2. B19.56% (effective annual rate).
  3. C216.00% (APR × 12).
CFA Level I QUANT · 02.02 — Q3 VIỆT
Quant · 02.02 23 / 24
Answer · Question 03

Answer: B — 19.56%.

✓ Correct — B
EAR = (1 + APR/m)m − 1 = (1 + 0.18/12)12 − 1 = (1.015)12 − 1 ≈ 1.1956 − 1 = 19.56%. Đây là true cost of borrowing — cao hơn 1.56% so với APR do monthly compounding.
✗ Wrong — A
18% chỉ đúng khi compound annually (m=1). Với monthly compounding, EAR strictly > APR. Đây là tại sao regulators yêu cầu disclose EAR, không chỉ APR.
✗ Wrong — C
216% = APR × 12 không có ý nghĩa financial. Compounding không phải nhân đơn giản — là exponentiation.
Key takeaway
Khi so sánh loans/investments có compounding frequency khác nhau → luôn convert sang EAR. APR là "stated", EAR là "truly paid".
CFA Level I QUANT · 02.02 — ANSWER Q3

02.02 ✓

Tiếp theo · Lesson 02.03 — Statistical Measures of Asset Returns